Sfärisk geometri och kartprojektion

Abstract

Denna pro gradu-avhandling behandlar sfärisk geometri och kartprojektioner. Första kapitelet ger en introduktion till den icke-euklidiska geometrin sfärisk geometri. Avstånd och vinklar på en sfär definieras och det bevisas bl.a att den kortaste vägen mellan två punkter på en sfär alltid är en storcirkelbåge.

Harriot-Girards sats som säger att man kan räkna ut en triangels area med hjälp av sfärens radie och triangelns vinklar bevisas med hjälp av månskäror. Med hjälp av denna sats fås också en regel med vars hjälp man kan räkna ut vinkelsumman i en triangel.

Fyra trigonometriska formler för rätvinkliga sfäriska trianglar bevisas med hjälp av trigonometriska regler för trianglar i planet. En av dessa formler kallas för Pythagoras sats för sfäriska trianglar, eftersom man med denna formel kan räkna ut en sidas längd i en triangel om man vet de andra två sidornas längder. Inom trigonometrin i planet är sinus- och cosinussatsen centrala. Samma regler som används i planet kan inte användas för att räkna ut vinklar och sidor i sfäriska trianglar, men i stället bevisas sinus- och cosinussatsen för sfäriska trianglar. Med hjälp av cosinussatsen beräknas bl.a. avståndet mellan Jyväskylä och New York.

Andra kapitlet behandlar kartprojektioner. Med hjälp av kartprojektioner kan jorden avbildas på ett plan. Att avbildningen inte kan ske utan formförändring bevisas. Skillnaderna mellan olika kartprojektioner beskrivs och tre kartprojektioner härleds. En av de äldsta kartprojektionerna är den azimutala kartprojektionen stereografisk projektion. Denna kartprojektionen härleds geometriskt med hjälp av rätvinkliga trianglar. Det bevisas också med hjälp av rätvinkliga trianglar att den stereografiska projektionen är konform.

Mercators projektion är en konform och cylindrisk kartprojektion, som inte kan härledas geometriskt. Denna projektion härleds på två olika sätt. Först härleds projektionen med hjälp av logaritmfunktionen och den stereografiska projektionen. Därefter härleds projektionen med hjälp av villkoret att projektionen är konform. En stor fördel med en karta gjord med hjälp av Mercator projektion är att varje linje representerar en loxodrom på sfären. En loxodrom är en kurva på sfären som skär alla meridianer och paralleller med konstant vinkel. Om man hela tiden följer samma kurs färdas man således efter en loxodrom, alltså efter en rak linje på en karta gjord med hjälp av Mercators projektion. På grund av denna egenskap används Mercators projektion ofta när man ritar sjökort. På en stereografisk projektion utgörs loxodromen av en logaritmisk spiral. Detta bevisas med hjälp av exponentialfunktionen. I exemplena beräknas bl.a. avstånd längs loxodromen och avstånd längs storcirkelbågen.

Den sista kartprojektionen som behandlas är Albers projektion. Albers projektion skiljer sig mycket från Mercators projektion, eftersom Albers projektion inte är konform. Albers projektion är i stället ytriktig och konisk. Med hjälp av dessa villkor härleds projektionen.