Derivaatta ja väliarvolause

Abstract

Tässä tutkielmassa käsitellään derivaattaa ja derivoituvuutta yhden reaalimuuttujan reaaliarvoisten funktioiden, usean reaalimuuttujan funktioiden ja yhden kompleksimuuttujan kompleksiarvoisten funktioiden tapauksissa. Lisäksi käydään läpi derivoituvien, differentioituvien ja analyyttisten funktioiden perusominaisuuksia (muun muassa derivointisääntöjä kussakin tapauksessa) määritelmien, lauseiden, todistusten ja esimerkkien avulla. Tämä mahdollistaa kyseisten funktioluokkien yhtäläisyyksien ja erojen tarkastelun. Tutkielmassa huomataan esimerkiksi, että kompleksisesta derivoituvuudesta seuraa automaattisesti derivoituvuus äärettömän monta kertaa, mutta reaalisen derivoituvuuden tapauksessatämä ei tietenkään päde. Kolmannessa luvussa käydään lyhyesti läpi Cauchyn ja Riemannin yhtälöt ja niiden yhteys analyyttisiin funktioihin. Lopuksi tarkastellaan Rollen lausetta ja väliarvolausetta eri tilanteissa. Tutkielmassa esitellään lisäksi esimerkkejä ja sovelluksia aiheeseen liittyen. Lukujen 1, 3 ja 4 alussa käsitellään lyhyesti aiheeseen liittyvää historiaa.

Tutkielman jälkeen lukija on esimerkiksi tietoinen siitä, että Rollen lause ja väliarvolause eivät suoraan sovellu usean reaalimuuttujan funktioille, eivätkä analyyttisille funktioille. Kuitenkin molemmista lauseista voidaan johtaa ja todistaa näille funktioille soveltuvat versiot.

Tutkielman tarkoituksena on antaa lukijalle hyvä ja tiivistetty kokonaiskuva derivaatasta ja derivoituvuudesta eri tilanteissa, tuoda esille eri tilanteiden välisiä eroja niin teorian kuin esimerkkienkin osalta sekä tarkastella, miten Rollen lause ja väliarvolause muuttuvat tilanteesta riippuen.