Hyperreaaliluvut

Abstract

Hyperreaaliluvut ovat reaalilukujen joukon laajennus, jossa on olemassa äärettömän pieniä ja suuria lukuja. Hyperreaalilukuja käytetään differentiaali- ja integraalilaskennassa. Metodi on suosittu erityisesti fyysikoiden keskuudessa. Analyysin osa-aluetta, jossa hyödynnetään hyperreaalilukuja, kutsutaan epästandardiksi analyysiksi. Epästandardissa analyysissä käytetään analyysille epästandardeja työkaluja, josta nimi juontuu. Hyperreaalilukujen edut verrattaessa reaalilukuihin tulevat esille epästandardissa analyysissä. Varsinkin fysiikassa hyödynnetään yhtälöiden differentiaalimuotoja ja integroinnissa lähtökohtana pidetään infinitesimaalin valintaa. Tutkielmassa hyperreaaliluvut määritellään lähtien kuudesta aksioomasta. Kaksi ensimmäistä aksioomaa vastaavat reaalilukujen aksioomia. Kolmas aksiooma takaa yhden positiivisen infinitesimaalin olemassaolon. Tämän lisäksi tarvitaan vielä aksiooman standardiosalle ja kaksi aksioomaa funktioille. Jokainen äärellinen hyperreaaliluku on mielivaltaisen lähellä yhtä reaalilukua. Hyperreaaliluvun standardiosa on se reaaliluku, jota lähellä hyperreaaliluku on. Epästandardista analyysista ensimmäisenä määritellään jatkuvuus funktioilla hyperreaalilukujen avulla. Hyperreaalifunktiot ovat funktioita, jotka ovat määrtitelty hyperreaaliluvuilla. Viides aksiooma takaa jokaiselle funktiolle f vastaavan hyperreaalifunktion f*, jota kutsutaan funktion f luonnolliseksi jatkoksi. Raja-arvo määritellään hyperreaaliluvuille standardiosan avulla. Jatkuvuus määritellään rajaarvon avulla, mutta todistuksissa hyödynnetään standardiosaa. Jatkuvuustuloksista Bolzanon lauseen todistus on selkeästi lyhyempi hyperreaalilukuja hyödyntäen. Derivaatta määritellään tutkielmassa standardiosan avulla raja-arvon sijaan. Määritelmän avulla osoitetaan rationaalifunktioiden derivointitulokset. Lauseiden todistuksia verrataan standardin analyysin todistuksiin. Viimeisessä kappaleessa määritellään määrätty integraali hyperreaalilukujen avulla. Määrätyn integraalin ominaisuuksien lisäksi osoitetaan, että määrätty integraali välillä [a,b] funktiosta f on funktion f pinta-ala funktio.