Hyperbolisen geometrian analyyttisiä malleja
Tässä tutkielmassa esitellään viisi erilaista Riemannin monistoa, jotka toimivat hyperbolisen geometrian analyyttisinä malleina. Geometria voidaan karkeasti jakaa kahteen eri tapaukseen, euklidiseen ja epäeuklidiseen. Euklidisessa geometriassa pätee Eukleideen geometrian viides aksiooma, paralleeliaksiooma. Näin ei kuitenkaan ole laita hyperbolisessa geometriassa, joka luokitellaan epäeuklidiseksi geometriaksi. Analyyttisellä geometrialla taas tarkoitetaan koordinaatistoon sidottua geometriaa. Tässä tapauksessa nämä geometrian mallit ovat topologisia 2-ulotteisia pintoja euklidisessa avaruudessa.
Lisäksi tutkielman malleissa hyödynnetään näille pinnoille määriteltyä sileää differentiaalirakennetta, jolloin voidaan käyttää mallista nimitystä sileä monisto. Riemannin monistossa on määritelty 2-kovariantti tensorikenttä, Riemannin metriikka, jonka avulla voidaan selvittää geodeesi eli sileä polku, jonka kuva monistolla on kahden pisteen välinen lyhin reitti eli geometrinen jana. Myös sellaiset geometriset oliot kuin suora ja kulma määritellään Riemannin metriikan avulla.
Tutkielmassa johdetaan keino geodeesien laskemiseksi geodeettisen differentiaaliyhtälöryhmän avulla. Tämän yhtälöryhmän ratkaisuna hahmotellaan suorat yhdessä hyperbolisen geometrian mallissa, Poincarén puolitasossa. Lopuksi tutkielmassa esitellään metriikan siirto, joka on keino muodostaa alkuperäisen mallin kaltaisia uusia hyperbolisen geometrian malleja sopivien diffeomorfismien avulla. Tätä menetelmää käytetään neljän muun Riemannin moniston muodostamiseen.
...
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [28143]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Euklidisen ja hyperbolisen geometrian malleja
Salmela, Erkki (2008) -
Poincaré duality for open sets in Euclidean spaces
Moisala, Terhi (2016)Todistamme tässä työssä Poincarén dualiteetin Euklidisten avaruuksien avoimille joukoille. Annamme lyhyen johdatuksen differentiaaligeometriaan ja määrittelemme de Rham -kohomologian käsitteen. Itse Poincarén dualiteetin ... -
On the quasi-isometric and bi-Lipschitz classification of 3D Riemannian Lie groups
Fässler, Katrin; Le Donne, Enrico (Springer, 2021)This note is concerned with the geometric classification of connected Lie groups of dimension three or less, endowed with left-invariant Riemannian metrics. On the one hand, assembling results from the literature, we give ... -
On the topology of surfaces with the generalised simple lift property
Tripaldi, Francesca (Springer Netherlands, 2020)In this paper, we study the geometry of surfaces with the generalised simple lift property. This work generalises previous results by Bernstein and Tinaglia (J Differ Geom 102(1):1–23, 2016) and it is motivated by the fact ...