Äärellisten ryhmien luokittelusta

Abstract

Tämän sivututkielman tarkoituksena on luokitella äärellisiä ryhmiä isomorfialla kertalukuun 21 saakka. Luokittelussa hyödynnetään muun muassa Lagrangen ja Cauchyn lauseita sekä myöhemmin Sylowin lauseita. Nämä antavat pohjaa ryhmien rakenteiden hahmottamiseen. Ensimmäiseksi työssä käydään läpi ryhmäteorialle ominaisia määritelmiä ja käsitteitä sekä Lagrangen lause ja isomorfia. Tämän jälkeen esitellään ryhmäperheet, joiden yhteydessä käydään läpi esimerkiksi kertaluvultaan alkuluvullisen ryhmän luokittelu sekä erikoistapauksen 8 käsittely. Tämän jälkeen perehdytään ryhmän toimintaan, rataan, stabiloijaan sekä rata-stabiloijalauseeseen konjugaation näkökulmasta. Käydään läpi luokkayhtälö, keskus ja keskittäjä sekä Cauchyn lause, joiden yhteydessä tarkastellaan kertalukujen tapausten p^2 ja 2p, missä p on alkuluku, todistukset. Viimeiseksi esitellään p-aliryhmät sekä erityisesti Sylowin lauseet ja niiden todistukset. Nämä antavat pohjaa kertalukujen erikoistapauksen 12 sekä yleisen tapauksen pq, missä p ja q ovat eri alkulukuja, tarkempaan perehtymiseen. Näiden jälkeen määritellään puolisuora tulo sekä esitellään pintapuolisesti kertaluvun erikoistapaukset 16, 18 ja 20 viitaten niitä syvemmin käsitteleviin teoksiin. Kertaluvun tapaukset 1 − 21 on koottu työn loppuun liitteeksi.