Separaatioaksioomat ja jatkuvien kuvausten laajentaminen

Tässä matematiikan Pro Gradu -tutkielmassa todistetaan McShanen ja Tietzen jatkolauseet sekä Urysonin lemma. Ensimmäinen tulos liittyy metrisiin avaruuksiin ja kaksi jälkimmäistä topologiaan. McShanen jatkolause kertoo, että metrisen avaruuden osajoukossa määritelty tasaisesti jatkuva kuvaus voidaan laajentaa jatkuvaksi koko avaruuteen. Tämän lauseen yhteydessä oleellinen käsite on kuvauksen jatkuvuusmoduli, joka antaa kvantitatiivisen tavan käsitellä tasaista jatkuvuutta. Tietyin lisäedellytyksin McShanen jatkolause kertoo, että kuvaus voidaan laajentaa koko avaruuteen siten, että laajennuksella on sama jatkuvuusmoduli kuin alkuperäisellä kuvauksella. McShanen jatkolauseen todistuksessa tarvitaan joitain konveksianalyysin tuloksia. Niinpä tähänkin matematiikan osa-alueeseen tutustutaan, tosin hyvin pintapuolisesti. Tietzen jatkolause puolestaan kertoo, että normaalin topologisen avaruuden suljetussa osajoukossa määritelty jatkuva kuvaus voidaan laajentaa jatkuvaksi koko avaruuteen. Tämän tuloksen todistamisessa avaruuden normaalius on oleellista, joten tässä tutkielmassa tutustutaan myös separaatioaksioomiin (joihin normaalius liittyy läheisesti). Urysonin lemma kertoo, että normaalissa avaruudessa kahden erillisen suljetun joukon välillä on olemassa jatkuva kuvaus, joka saa yhdessä joukossa arvon 0 ja toisessa arvon 1; toisin sanoen normaalin avaruuden erilliset suljetut osajoukot voidaan erotella toisistaan jatkuvan kuvauksen avulla. Urysonin lemmaa käytetään apuna Tietzen jatkolauseen todistamisessa.