Higher order approximations in discrete exterior calculus

Abstract

The theory of discrete exterior calculus provides tools for imitating exterior calculus in finite-dimensional cochain spaces, inducing numerical methods for problems presented in terms of differential forms. Methods based on discrete exterior calculus share the property that the coboundary operator discretises the exterior derivative exactly, in the sense that Stokes’ theorem is automatically preserved in the finite-dimensional setting. Another benefit is that the dependence on metric is identifiable and restricts to the Hodge star operator and its discretisation. Although the importance of the discrete Hodge operator has been acknowledged, extending the framework of discrete exterior calculus to higher order methods has previously been an open problem. In this thesis, we extend the theory to accommodate higher order approximations. The key point is to create the mesh such that cochains can be interpolated with higher order interpolants. This can be accomplished with our systematic interpolation framework on simplicial and cubical meshes. We divide the cells of the mesh into smaller cells that can be used to define the interpolants and their degrees of freedom. When a mesh containing these small cells is used to apply discrete exterior calculus, cochains can be interpolated with higher order accuracy. This interpolation framework admits a systematic implementation covering arbitrary orders with the same code. It can also be used to define higher order discrete Hodge operators in a natural manner. These operators are, in a sense, exact for all elements in the finite-dimensional space of interpolants. The tools developed in this work enable higher order schemes based on discrete exterior calculus; we demonstrate this with elliptic and hyperbolic boundary value problems. Convergence properties are studied both theoretically and through numerical examples.

Diskreetti ulkoinen laskenta (engl. discrete exterior calculus, DEC) mahdollistaa differentiaalimuotojen approksimoinnin numeerisiin menetelmiin soveltuvissa äärellisulotteisissa avaruuksissa. DEC-pohjaisten menetelmien etuna on ulkoderivaatan diskreetti vastine, joka perustuu Stokesin lauseeseen eikä aiheuta lainkaan virhettä. Lisäksi metrisen tensorin valinnasta riippuvat ja riippumattomat diskretoinnin osat ovat selvästi eriteltävissä. Vaikka oleellisten operaattorien merkitys on ymmärretty, diskreettiin ulkoiseen laskentaan pohjautuvat menetelmät on aiemmin mielletty alimman asteen menetelmiksi. Tässä väitöskirjassa teoriaa kehitetään kattamaan korkeamman asteen approksimaatioita. Keskeisintä on verkon muodostaminen korkeamman asteen interpolointiin soveltuvalla tavalla. Tätä varten esitetään systemaattinen strategia simplekseillä ja hyperkuutioilla. Solut jaetaan pienempiin soluihin, joita voidaan käyttää interpolanttien ja näiden vapausasteiden määrittelemiseen. Kun verkko sisältää nämä pienemmät solut, korkeamman asteen interpoloinnista tulee mahdollista. Interpolointistrategialle saadaan systemaattinen toteutus, joka kattaa kaikenasteiset approksimaatiot samalla koodilla. Lisäksi se tarjoaa luonnollisen tavan johtaa diskreettejä Hodgeoperaattoreja. Väitöstutkimuksessa kehitettyjen työkalujen ansiosta reuna-arvotehtäville saadaan DEC-pohjaisia korkeamman asteen menetelmiä; tätä demonstroidaan elliptisten ja hyperbolisten tehtävien yhteydessä. Menetelmien suppenemista tarkastellaan sekä teoreettisesti että numeerisin testiesimerkein.