Additive properties of fractal sets on the parabola

Abstract

Olkoon0ďsď1jaP:“ tpt,t2q PR2:tP r ́1,1su. JosKĂPon suljettu jadimHK“s, on suoraviivaista nähdä, ettädimHpK`Kq ě2s. Paperin pääkorollaari kertoo, ettäjos0ăsă1, joukonKlisääminen vielä kerran kasvattaa summaa:dimHpK`K`Kq ě2s` ,missä “ psq ą0. Väite päätellään seuraavastaL6-arviosta Frostman-mittojen Fourier-muunnok-sille. Olkoon0ăsă1, ja olkoonμon Borel-mitta joukossaP, joka toteuttaa ehdonμpBpx,rqq ďrskaikillexPPjarą0. Silloin on olemassa “ psq ą0jaR0ě1, joille seurava epäyhtälö päteekaikilleRěR0:}ˆμ}6L6pBpRqqďR2 ́p2s` q.Todistuksen keskeinen idea on muotoilla ongelma uudelleen sopivanaδ-diskretoituna pisteidenja ympyröiden välisenä insidenssiongelmana. Tämä geometrinen pulma palautuu lopultaps,2sq-Furstenberg-joukko-ongelmaan.

Let 0≤s≤1, and let P:={(t,t2)∈R2:t∈[−1,1]}. If K⊂P is a closed set with dimH⁡K=s, it is not hard to see that dimH⁡(K+K)≥2s. The main corollary of the paper states that if 0<1, then adding K once more makes the sum slightly larger: dimH⁡(K+K+K)≥2s+ϵ, where ϵ=ϵ(s)>0. This information is deduced from an L6 bound for the Fourier transforms of Frostman measures on P. If 0<1, and μ is a Borel measure on P satisfying μ(B(x,r))≤rs for all x∈P and r>0, then there exists ϵ=ϵ(s)>0 such that ‖μ^‖L6(B(R))6≤R2−(2s+ϵ) for all sufficiently large R≥1. The proof is based on a reduction to a δ-discretised point-circle incidence problem, and eventually to the (s,2s)-Furstenberg set problem.