Bochner-integraali ja Radon-Nikodym -ominaisuus

Abstract

Tutkielma tarkastelee Banach-avaruuksien vektoriarvoista Bochner-integraalia. Integraali määritellään yksinkertaisille kuvauksille Lebesgue-integraalia ja avaruuden täydellisyyttä käyttäen. Tämän jälkeen tutustutaan vektoriarvoisten joukkokuvausten eli vektorimittojen teoriaan. Lopuksi tutkitaan Banach-avaruuden Radon-Nikodym -ominaisuutta, joka yhdistää vektorimittojen ja Bochner-integraalin teorian sekä vastaa kysymykseen, voidaanko annettu vektorimitta esittää integroituvan kuvauksen Bochner-integraalina. Avaruudet, joilla on tämä ominaisuus omaavat mielenkiintoisia rakenteita sekä topologisesta että geometrisesta näkökulmasta.

Myöhempien lukujen osalta on olennaista tuntea Banach-avaruuksien ja Lebesgue-integraaliin liittyvä perusteoria. Ensimmäinen luku käy läpi normiavaruuksien teoriaa painottamalla lineaarikuvauksia ja listaamalla keskeisimmät tulokset, kuten Hahn-Banach -lauseen ja sen seuraukset. Funktionaalianalyyttinen osuus päätetään heikon topologian määritelmään. Viimeinen aliluku käsittelee mittojen, yksinkertaisen kuvausten, Lebesgue-integraalien ja L^p-avaruuksien aihealueet.

Toisessa luvussa käsitellään mitallisia kuvauksia ja Bochner-integraalia. Mitalliset kuvaukset ovat niitä kuvauksia, joille integraali on hyvin määritelty ja joille integraali voi ylipäätään olla olemassa. Mitallisuustyyppejä on useampia, joista olennaisimmat ovat mu-mitallisuus ja heikko mitallisuus. Käsitteet liittyvät läheisesti toisiinsa Pettisin mitallisuuslauseen kautta. Tämän jälkeen määritellään Bochner-integraali yksinkertaisten kuvausten integraalien Cauchy-jonon raja-arvona. Teoria alkaa perustuloksista ja myöhemmin nähdään, että integroituvuuteen riittää tarkastella vain reaaliarvoista normikuvausta viittaamatta yksinkertaisiin kuvauksiin. Integraalien keskeisenä tuloksena saadaan suljettuihin lineaarikuvauksiin liittyvä Hillen lause. Lopuksi käsitellään Bochner-L^p-avaruudet ja heikosti mitallisten kuvausten Pettis-integraali.

Mittojen käsitettä voidaan tarkastella myös vektoriarvoisille joukkokuvauksille, jolloin saadaan vektorimittojen käsite. Kolmannessa luvussa tutustutaan vektorimittoihin, näiden variaatioihin sekä vektorimittojen Banach-avaruuksiin. Lopuksi tutkitaan Pettis-integraalia vektorimittana.

Viimeisessä luvussa käsitellään Radon-Nikodym -ominaisuutta. Jokainen absoluuttisesti jatkuva reaaliarvoinen äärellinen mitta voidaan esittää toisen mitan suhteen integraalina: tämä tulos tunnetaan Radon-Nikodym -lauseena, jolle annetaan todistus. Yleisissä Banach-avaruuksissa voidaan määritellä vastaava asetelma, mutta osoittautuu, että jokaisella avaruudella ei ole tätä esitysominaisuutta. Luvun tavoitteena on näyttää erilaisia ehtoja Radon-Nikodym -ominaisuudelle. Ensimmäisenä aloitetaan L^1-avaruuden operaattoreiden Riesz-esitettävyydestä. Tämän jälkeen siirrytään lommoontuviin (eng. dentable) joukkoihin ja konveksisuuteen. Lopuksi esitetään joitakin Radon-Nikodym -ominaisuuden karakterisointeja, kuten Banach-arvoisten absoluuttisesti jatkuvien kuvausten differentioituvuus.