Simulating inhomogeneous spacetimes using the ADM-formalism

Maailmankaikkeuden epähomogeenisuuksien vaikutuksia sen laajenemiseen ja mittaustuloksiin on tutkittu kirjallisuudessa paljon. Koska Einsteinin yhtälöille ei tunneta yleisiä ratkaisuja, nämä tutkimukset ovat kuitenkin perustuneet häiriöteoriaan ja hyvin symmetrisiin, yksinkertaistettuihin malleihin. Tässä tutkielmassa selvitän, kuinka epähomogeenisuuksien vaikutuksia olisi mahdollista tutkia käyttämällä täysin relativistisia numeerisia simulaatioita. Tätä varten esittelen Arnowitt-Deser-Misner- ja Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura -formalismit (ADM- ja BSSN-formalismit) yleiselle suhteellisuusteorialle ja tutkin ADM-formalismin numeerista stabiiliutta erilaisilla alkuarvoilla aineen dominoimassa maailmankaikkeudessa. Saamieni tulosten stabiilius riippui vahvasti simulaatioille valitusta pituusskaalasta. Hyvin suurilla skaaloilla (∼ 500 Mpc) tulokset olivat varsin luotettavia simulaation loppuhetkiä lukuun ottamatta, kun taas fysikaalisesti merkittävillä pituusskaaloilla (∼ 100 Mpc) yhtälöt olivat lähes välittömästi epästabiilit. Jatkotutkimuksissa tulisi siirtyä ADM-formalismista luotettavampaan BSSN-formalismiin. Tämän lisäksi laadin simulaation havaittujen punasiirtymien laskemiseksi numeerisista aika-avaruuksista ja arvioin sen tuloksia kvalitatiivisesti. Alustavien tulosten mukaan näennäiset tiheysvaihtelut vääristyvät gravitaatiolinssi-ilmiön vuoksi.

There is an extensive literature on the effects of inhomogeneities on the expansion of the universe and measurable quantities. However, as there is no known general solution to Einstein’s field equations, much of the analysis relies on perturbation theory and very symmetric toy models. In this thesis, I will assess a method of studying the effects of inhomogeneities using fully relativistic simulations. To this end, I will introduce the Arnowitt-Deser-Misner- and Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura -formulations (ADM- and BSSN-formulations) for general relativity and discuss the numerical stability of the ADM-formalism with different initial conditions in a matter dominated universe. The stability of the results depends heavily on the chosen length scale. On very large scales (∼ 500 Mpc) the results appear reliable until late in the evolution, whereas on more physically relevant scales (∼ 100 Mpc) the equations are almost immediately unstable. Further research should move on to the more stable BSSN-formalism. In addition, I implemented a simulation for calculating observed redshifts in numerical spacetimes and assessed its results qualitatively. The preliminary results suggest an apparent deformation of density perturbations due to gravitational lensing.