Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla

Abstract

Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että kompleksitasossa differentioituva kompleksiarvoinen funktio saa enintään yhtä arvoa lukuunottamatta kaikki arvot. Tutkielmassa tullaan esittämään lauseelle Harnackin epäyhtälöön perustuva todistus. Tutkielmassa esitellään runsaasti tarvittavia esitietoja, jotta lukija voi perehtyä halutessaan huolella päätuloksen todistuksen taustalla olevaan analyysiin. Esitiedot alkavat kompleksisen differentioituvuuden osuudesta, jossa keskitytään todistamaan harmonisten funktioiden kannalta tärkeät Cauchyn ja Riemannin yhtälöt. Kompleksisen integroinnin osuudessa rakennetaan todistus Taylorin kehitelmälle ja päätulosta muistuttavalle Liouvillen lauseelle. Molemmat tulokset liittyvät olennaisesti harmonisten funktioiden tuloksiin. Myös Möbius-kuvausten teoriaa esitellään sitä varten, että eräs Picardin lausetta muistuttava tulos saadaan todistettua harmonisille funktioille. Harmonisten funktioiden teoria liittyy jo suoraan päätuloksen todistukseen. Erityisesti tärkeitä tuloksia kyseisessä kappaleessa ovat tulokset, jotka liittävät harmoniset funktiot kompleksianalyyttisiin ja reaalianalyyttisiin funktioihin. Harnackin epäyhtälöä ja Harnack-funktioita käsittelevässä kappaleessa esitellään kyseinen epäyhtälö ja siihen perustuvat funktiot. Harnack-funktioissa tärkeää tutkielman kannalta on niiden yhteys harmonisiin funktioihin. Kappaleessa esitellään päätulokseen tarvittava tulos harmonisten funktioiden jonojen käyttäytymisestä. Viimeinen tulos tutkielmassa ennen päätuloksen todistusta on lemma, jonka avulla Harnackfunktioida voidaan arvioida tarkemmin. Picardin lauseelle esitettävä todistus ei lauseen luonteesta huolimatta juurikaan nojaudu kompleksianalyysin tuloksiin. Todistuksessa rakennetaan väitteen analyyttisesta funktiosta reaaliarvoisia harmonisia funktioita ja näytetään, että ei ole mahdollista, että alkuperäinen funktio jättää saamatta kaksi eri arvoa. Todistuksessa käytetään siis hyödyksi tutkielmassa esiteltyjen funktioiden yhteyksiä toisiinsa.