Pellin yhtälöistä
Authors
Date
2019Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tutkielmassa etsitään ratkaisuja Pellin yhtälölle eli muotoa x^2-Dy^2=1, jossa luku D ei saa olla minkään luvun neliö. Työssä keskitytään Pellin yhtälön kokonaislukuratkaisujen löytämiseen, sillä reaalilukuratkaisut löydetään helposti. Samoin helposti löydetään jokaisen Pellin yhtälön toteuttavat triviaaliratkaisut. Aluksi tutustutaan kolmiolukuihin ja neliölukuihin. Kolmioneliöluvut liittyvät olennaisesti Pellin yhtälön erikoistapaukseen, jossa D=2. Tutkielman alkupuoliskolla tutkitaan tätä erikoistapausta ja laajennetaan saadut tulokset koskemaan kaikkia Pellin yhtälöitä. Tutkielman alkupuolen merkittävin tulos on se, että löytämällä Pellin yhtälölle yhden ratkaisun, saadaan loput kyseisen yhtälön ratkaisut ensimmäisestä ratkaisusta potenssiin korottamisen avulla.
Tutkielman jälkipuoliskolla keskitytään ketjumurtolukuihin, koska Pellin yhtälön pienin ratkaisu löydetään niiden avulla. Tuon ratkaisun löytämistä varten tarvitaan konvergentin ja jaksollisen ketjumurtoluvun käsitteet. Lähes jokainen luku voidaan esittää ketjumurtolukuna ja pienimmän ratkaisun löytämistä varten täytyy luvun D neliöjuuri esittää ketjumurtolukuna, jossa alkaa toistua tietty jakso. Tutkielman lopulla käydään läpi tärkeät kaavat, joiden avulla saadaan laskettua jaksoa ja konvergentteja hyödyntäen Pellinyhtälön pienin ratkaisu. Ratkaisu lasketaan eri kaavoilla riippuen siitä onko luku D parillinen vai pariton. Tämän ratkaisun avulla sitten saadaan laskettua kaikki loput Pellin yhtälön ratkaisut.
...


Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [23417]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Algebrallista lukuteoriaa : Pellin yhtälöstä ja aritmetiikan peruslauseen yleistämisestä
Ojaniemi, Jenna (2019)Tutkielman tarkoituksena on Pellin yhtälön ratkaiseminen ja aritmetiikan peruslauseen voimassaolon tutkiminen algebrallisten kokonaislukujen muodostamissa renkaissa \mathbb{Z}[\sqrt{-2}], \mathbb{Z}[\sqrt{-3}],\mathbb{Z} ... -
On the nonarchimedean quadratic Lagrange spectra
Parkkonen, Jouni; Paulin, Frédéric (Springer Berlin Heidelberg, 2020)We study Diophantine approximation in completions of functions fields over finite fields, and in particular in fields of formal Laurent series over finite fields. We introduce a Lagrange spectrum for the approximation by ... -
Rothin lause
Pitkänen, Heikki (2012)Tämän pro gradu -tutkielman tarkoituksena on esitellä Diofantoksen approksimoinnin tuloksia ja antaa todistus Rothin lauseelle. Diofantoksen approksimoinnissa ollaan kiinnostuneita siitä, kuinka hyvin irrationaalilukuja ... -
Pääideaalialueen moduulien päälause
Lehtikangas, Vilppu (2021)Tämän tutkielman tarkoituksena on rakentaa moduulien teoria ryhmä- ja rengasteorian alkeista lähtien, sekä osoittaa pääideaalialueiden moduulien päälause. Moduuli on joukko G varustettuna yhteenlaskutoimituksella, joka ... -
The minimal number of generators for ideals in commutative rings
Pirnes, Erika (2018)Olkoon R kommutatiivinen rengas. Tämän tutkielman tarkoituksena on etsiä ylä- ja alarajat äärellisviritteisen ideaalin I = (a1, . . . , an) ⊂ R minimaaliselle virittäjämäärälle. Tärkeänä työkaluna toimii moduliteoria; ...