University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Pellin yhtälöistä

Thumbnail
View/Open
324.8Kb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Paavola, Antti
Date
2019
Discipline
Matematiikan opettajankoulutusTeacher education programme in Mathematics
Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

 
Tutkielmassa etsitään ratkaisuja Pellin yhtälölle eli muotoa x^2-Dy^2=1, jossa luku D ei saa olla minkään luvun neliö. Työssä keskitytään Pellin yhtälön kokonaislukuratkaisujen löytämiseen, sillä reaalilukuratkaisut löydetään helposti. Samoin helposti löydetään jokaisen Pellin yhtälön toteuttavat triviaaliratkaisut. Aluksi tutustutaan kolmiolukuihin ja neliölukuihin. Kolmioneliöluvut liittyvät olennaisesti Pellin yhtälön erikoistapaukseen, jossa D=2. Tutkielman alkupuoliskolla tutkitaan tätä erikoistapausta ja laajennetaan saadut tulokset koskemaan kaikkia Pellin yhtälöitä. Tutkielman alkupuolen merkittävin tulos on se, että löytämällä Pellin yhtälölle yhden ratkaisun, saadaan loput kyseisen yhtälön ratkaisut ensimmäisestä ratkaisusta potenssiin korottamisen avulla. Tutkielman jälkipuoliskolla keskitytään ketjumurtolukuihin, koska Pellin yhtälön pienin ratkaisu löydetään niiden avulla. Tuon ratkaisun löytämistä varten tarvitaan konvergentin ja jaksollisen ketjumurtoluvun käsitteet. Lähes jokainen luku voidaan esittää ketjumurtolukuna ja pienimmän ratkaisun löytämistä varten täytyy luvun D neliöjuuri esittää ketjumurtolukuna, jossa alkaa toistua tietty jakso. Tutkielman lopulla käydään läpi tärkeät kaavat, joiden avulla saadaan laskettua jaksoa ja konvergentteja hyödyntäen Pellinyhtälön pienin ratkaisu. Ratkaisu lasketaan eri kaavoilla riippuen siitä onko luku D parillinen vai pariton. Tämän ratkaisun avulla sitten saadaan laskettua kaikki loput Pellin yhtälön ratkaisut. ...
Keywords
algebra yhtälöt lukuteoria
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-201908093795

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [23417]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Algebrallista lukuteoriaa : Pellin yhtälöstä ja aritmetiikan peruslauseen yleistämisestä 

    Ojaniemi, Jenna (2019)
    Tutkielman tarkoituksena on Pellin yhtälön ratkaiseminen ja aritmetiikan peruslauseen voimassaolon tutkiminen algebrallisten kokonaislukujen muodostamissa renkaissa \mathbb{Z}[\sqrt{-2}], \mathbb{Z}[\sqrt{-3}],\mathbb{Z} ...
  • On the nonarchimedean quadratic Lagrange spectra 

    Parkkonen, Jouni; Paulin, Frédéric (Springer Berlin Heidelberg, 2020)
    We study Diophantine approximation in completions of functions fields over finite fields, and in particular in fields of formal Laurent series over finite fields. We introduce a Lagrange spectrum for the approximation by ...
  • Rothin lause 

    Pitkänen, Heikki (2012)
    Tämän pro gradu -tutkielman tarkoituksena on esitellä Diofantoksen approksimoinnin tuloksia ja antaa todistus Rothin lauseelle. Diofantoksen approksimoinnissa ollaan kiinnostuneita siitä, kuinka hyvin irrationaalilukuja ...
  • Pääideaalialueen moduulien päälause 

    Lehtikangas, Vilppu (2021)
    Tämän tutkielman tarkoituksena on rakentaa moduulien teoria ryhmä- ja rengasteorian alkeista lähtien, sekä osoittaa pääideaalialueiden moduulien päälause. Moduuli on joukko G varustettuna yhteenlaskutoimituksella, joka ...
  • The minimal number of generators for ideals in commutative rings 

    Pirnes, Erika (2018)
    Olkoon R kommutatiivinen rengas. Tämän tutkielman tarkoituksena on etsiä ylä- ja alarajat äärellisviritteisen ideaalin I = (a1, . . . , an) ⊂ R minimaaliselle virittäjämäärälle. Tärkeänä työkaluna toimii moduliteoria; ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre