Show simple item record

dc.contributor.advisorLehrbäck, Juha
dc.contributor.authorLindqvist, Ellinoora
dc.date.accessioned2019-06-26T06:37:17Z
dc.date.available2019-06-26T06:37:17Z
dc.date.issued2019
dc.identifier.urihttps://jyx.jyu.fi/handle/123456789/64858
dc.description.abstractTämän tutkielman tarkoituksena on näyttää, kuinka kokonaislukujen lukuteoriaa voidaan yleistää kokonaislukujen kompleksisille laajennuksille. Lisäksi halutaan osoittaa, että tilannetta voidaan tarkastella toisestakin suunnasta eli siitä, kuinka kokonaislukujen lukuteorian tuloksia voidaan todistaa kompleksilukujen avulla. Kokonaislukujen kompleksisista laajennuksista erityisen kiinnostuneita tutkielmassa ollaan Gaussin, Hurwitzin ja Eisensteinin kokonaisluvuista. Tutkielman alussa esitellään perusteellisesti Gaussin kokonaisluvut, jotka ovat tärkein tutkielmassa käytettävistä kokonaislukujen laajennuksista. Gaussin kokonaisluvuille näytetään ensin niiden algebrallisia ominaisuuksia, minkä jälkeen siirrytään lukuteoreettisiin ominaisuuksiin. Osoittautuu, että monet kokonaislukujen lukuteorian käsitteet ja tulokset, kuten alkuluvut, Eukleideen algoritmi, aritmetiikan peruslause ja Bézout'n lemma, voidaan yleistää Gaussin kokonaisluvuille. Tämän jälkeen vaihdetaan tarkastelusuuntaa. Tutustutaan kokonaislukujen lukuteorian tuloksiin ja niiden todistamiseen kokonaislukujen kompleksilaajennusten avulla. Ensimmäisenä annetaan tulos luonnollisen luvun esittämisestä kahden neliön summana. Tuloksen todistuksessa hyödynnetään Gaussin kokonaislukuja. Tämän jälkeen esitellään toinen kokonaislukujen kompleksisista laajennuksista, Hurwitzin kokonaisluvut. Niiden avulla todistetaan tulos luonnollisen luvun esittämisestä neljän neliön summana. Kolmantena todistettavana lukuteorian tuloksena esitellään eräs tapaus Fermat'n suuresta lauseesta. Todistusta varten perehdytään Eisensteinin kokonaislukuihin, jotka ovat viimeinen tutkielmassa esiteltävistä kokonaislukujen laajennuksista. Lopuksi kootaan yhteen tutkielmassa käytetyt kokonaislukujen laajennukset niiden geometrisen tulkinnan kautta. Samalla käsitellään lyhyesti tavallisten kokonaislukujen ja niiden kompleksisten laajennusten ulottuvuuksien määrää ja esitellään eräs siihen liittyvä toistaiseksi ratkaisematon ongelma.fi
dc.format.extent48
dc.language.isofi
dc.subject.otherGaussin kokonaisluvut
dc.subject.otherHurwitzin kokonaisluvut
dc.subject.otherEisensteinin kokonaisluvut
dc.subject.otherGaussin alkuluvut
dc.subject.otherneliöiden summat
dc.subject.otherFermat'n suuri lause
dc.titleKompleksilukujen lukuteoriaa ja lukuteoriaa kompleksiluvuilla
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:jyu-201906263454
dc.type.ontasotMaster’s thesisen
dc.type.ontasotPro gradu -tutkielmafi
dc.contributor.tiedekuntaMatemaattis-luonnontieteellinen tiedekuntafi
dc.contributor.tiedekuntaFaculty of Sciencesen
dc.contributor.laitosMatematiikan ja tilastotieteen laitosfi
dc.contributor.laitosDepartment of Mathematics and Statisticsen
dc.contributor.yliopistoJyväskylän yliopistofi
dc.contributor.yliopistoUniversity of Jyväskyläen
dc.contributor.oppiaineMatematiikan opettajankoulutusfi
dc.contributor.oppiaineTeacher education programme in Mathematicsen
dc.rights.copyrightJulkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.fi
dc.rights.copyrightThis publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.en
dc.contributor.oppiainekoodi4041
dc.subject.ysolukuteoria
dc.subject.ysokokonaisluvut
dc.subject.ysoalkuluvut
dc.subject.ysoalgoritmit
dc.subject.ysoluonnolliset luvut
dc.subject.ysoluvut
dc.subject.ysokompleksiluvut


Files in this item

Thumbnail

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record