Radonin ja Nikodymin lause
Authors
Date
2019Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tässä tutkielmassa perehdytään merkkimittoihin ja niihin liittyviin hajotelmalauseisiin. Lisäksi päälauseena todistetaan mittateorian perustuloksiin kuuluva Radonin ja Nikodymin lause kolmessa eri tilanteessa: ensin kahden äärellisen mitan tapauksessa, sitten sigma-äärellisten mittojen kanssa ja viimeisenä sigma-äärellisen mitan ja merkkimitan tapauksessa.
Merkkimitat ovat mittateoriassa tutkittuja mittojen yleistyksiä. Ne voivat mitoista poiketen saada myös negatiivisia arvoja, mutta kuitenkin niin, ettei merkkimitta voi saavuttaa sekä positiivista että negatiivista ääretöntä. Tutkielmassa tutustutaan merkkimittojen absoluuttiseen jatkuvuuteen ja keskinäiseen singulaarisuuteen. Ensimmäinen viittaa merkkimittojen vahvaan riippuvuuteen toisistaan: joukon nollamittaisuus periytyy myös toiselle merkkimitalle. Singulaarisuus taas päinvastoin kertoo joukkofunktioiden täydellisestä riippumattomuudesta: ne saavat nollasta poikkeavia arvoja täysin eri osissa avaruutta.
Tutkielmassa todistetaan kolme hajotelmalausetta. Hahnin hajotelmalauseen nojalla mitta-avaruus voidaan jakaa merkkimitan suhteen kahteen pistevieraaseen osaan, joista toisessa merkkimitta saa vain positiivisia arvoja ja toisessa taas vain negatiivisia arvoja. Kyseisellä lauseella on oleellinen rooli Radonin ja Nikodymin lauseen todistuksessa. Jordanin hajotelmalauseessa todistetaan, miten jokainen merkkimitta voidaan palauttaa kahden mitan erotukseksi, ja viimeisenä Lebesguen hajotelmalause osoittaa, että kahta merkkimittaa tutkittaessa kumpi tahansa voidaan hajottaa toisen suhteen absoluuttisesti jatkuvaan ja singulaariseen osaan.
On helppoa osoittaa, että mitallista ei-negatiivista funktiota integroimalla saadaan luotua mitta. Ei ole myöskään haastavaa näyttää, että näin saatu mitta on absoluuttisesti jatkuva integroinnissa käytetyn mitan suhteen. Radonin ja Nikodymin lause todistaa, että sama pätee tietyillä lisäoletuksilla myös käänteisesti: Jos sigma-äärellinen (merkki)mitta v on absoluuttisesti jatkuva sigma-äärellisen mitan m suhteen, on olemassa mitallinen funktio f, jolle pätee, että jokaisen mitallisen joukon E v-mitta on täsmälleen funktion f integraali mitan m suhteen joukon E yli. Käy siis ilmi, että sigma-äärellisten mittojen tapauksessa absoluuttinen jatkuvuus voidaan karakterisoida täysin mitallisten funktioiden integroinniksi.
...
Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [29114]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Regularity and modulus of continuity of space-filling curves
Kauranen, Aapo; Koskela, Pekka; Zapadinskaya, Aleksandra (Magnes Press, 2019)We study critical regularity assumptions on space-filling curves that possess certain modulus of continuity. The bounds we obtain are essentially sharp, as demonstrated by an example. -
Stressi- ja rentoutumisvektoreiden huippukohdat pariterapiaistunnossa
Hokkanen, Sanna; Poikela, Hanna (2014)Tutkimuksessamme tarkasteltiin yhtä pariterapiaistuntoa, jossa mitattiin autonomisen hermoston vasteita jokaiselta osallistujalta. Sydämen sykemuuttujien perusteella absoluuttisten stressi- ja rentoutumisvektoreiden ... -
Stressi ja sen kehkeytyminen ja yhteydet hyvinvointiin keskiaikuisuudessa
Laitanen, Milla (2012)Tässä tutkimuksessa tarkasteltiin stressin kokemista sekä stressin absoluuttista ja suhteellista pysyvyyttä keski-iässä, eli 36-vuotiaasta 42-vuotiaaksi ja 50-vuotiaaksi saakka. Lisäksi tutkittiin edellä mainituissa ... -
Kiintymystyylit, kiintymyksen turvallisuus, koettu sosiaalinen tuki ja tunneilmaisun ristiriita keskiaikuisuudessa : pitkittäistutkimuksellinen näkökulma
Oinas, Johanna (2011)Aikuisuuden kiintymystyylit heijastavat yksilön tapaa ajatella, tuntea ja käyttäytyä läheisissä ihmissuhteissa. Tässä tutkimuksessa tarkasteltiin, millaista kiintymystyylien (turvallinen, itseriittoinen, takertuva ja ... -
Optimismi lapsuudesta myöhäisaikuisuuden kynnykselle
Vuori, Maiju (2023)Optimismilla tarkoitetaan yksilön yleistä ja suhteellisen pysyvää odotusta siitä, että hänen elämässään tulee tapahtumaan myönteisiä asioita. Toinen lähestymistapa optimismin määrittelyyn liittyy yksilölle tyypilliseen ...