Radonin ja Nikodymin lause

Abstract

Tässä tutkielmassa perehdytään merkkimittoihin ja niihin liittyviin hajotelmalauseisiin. Lisäksi päälauseena todistetaan mittateorian perustuloksiin kuuluva Radonin ja Nikodymin lause kolmessa eri tilanteessa: ensin kahden äärellisen mitan tapauksessa, sitten sigma-äärellisten mittojen kanssa ja viimeisenä sigma-äärellisen mitan ja merkkimitan tapauksessa.

Merkkimitat ovat mittateoriassa tutkittuja mittojen yleistyksiä. Ne voivat mitoista poiketen saada myös negatiivisia arvoja, mutta kuitenkin niin, ettei merkkimitta voi saavuttaa sekä positiivista että negatiivista ääretöntä. Tutkielmassa tutustutaan merkkimittojen absoluuttiseen jatkuvuuteen ja keskinäiseen singulaarisuuteen. Ensimmäinen viittaa merkkimittojen vahvaan riippuvuuteen toisistaan: joukon nollamittaisuus periytyy myös toiselle merkkimitalle. Singulaarisuus taas päinvastoin kertoo joukkofunktioiden täydellisestä riippumattomuudesta: ne saavat nollasta poikkeavia arvoja täysin eri osissa avaruutta.

Tutkielmassa todistetaan kolme hajotelmalausetta. Hahnin hajotelmalauseen nojalla mitta-avaruus voidaan jakaa merkkimitan suhteen kahteen pistevieraaseen osaan, joista toisessa merkkimitta saa vain positiivisia arvoja ja toisessa taas vain negatiivisia arvoja. Kyseisellä lauseella on oleellinen rooli Radonin ja Nikodymin lauseen todistuksessa. Jordanin hajotelmalauseessa todistetaan, miten jokainen merkkimitta voidaan palauttaa kahden mitan erotukseksi, ja viimeisenä Lebesguen hajotelmalause osoittaa, että kahta merkkimittaa tutkittaessa kumpi tahansa voidaan hajottaa toisen suhteen absoluuttisesti jatkuvaan ja singulaariseen osaan.

On helppoa osoittaa, että mitallista ei-negatiivista funktiota integroimalla saadaan luotua mitta. Ei ole myöskään haastavaa näyttää, että näin saatu mitta on absoluuttisesti jatkuva integroinnissa käytetyn mitan suhteen. Radonin ja Nikodymin lause todistaa, että sama pätee tietyillä lisäoletuksilla myös käänteisesti: Jos sigma-äärellinen (merkki)mitta v on absoluuttisesti jatkuva sigma-äärellisen mitan m suhteen, on olemassa mitallinen funktio f, jolle pätee, että jokaisen mitallisen joukon E v-mitta on täsmälleen funktion f integraali mitan m suhteen joukon E yli. Käy siis ilmi, että sigma-äärellisten mittojen tapauksessa absoluuttinen jatkuvuus voidaan karakterisoida täysin mitallisten funktioiden integroinniksi.