Weierstrassin lause ja muita approksimaatiotuloksia

Abstract

Tässä työssä tutustutaan kahteen Weierstrassin tulokseen. Karl Wilhelm Theodor Weierstrass oli saksalainen matemaatikko (1815-1897). Monelle Weierstrassin nimi on tuttu Bolzano-Weierstrassin lauseesta tai Weierstrassin M-testistä. Hän myös muotoili (ε, δ)määritelmän jatkuvuudelle. Tässä tutkielmassa keskitytään kuitenkin kahteen approksimaatioteorian tulokseen. Näiden kahden Weierstrassin tuloksen voidaan ajatella olevan approksimaatioteorian klassisia perustuloksia. Ensimmäinen tulos on vuodelta 1872. Se on Weierstrassin esimerkki jatkuvasta ei missään pisteessä derivoituvasta funktiosta. Käyttämällä funktiosarjoja Weierstrass konstruoi funktion, joka on jatkuva, mutta ei missään pisteessä derivoituva. Tätä kutsutaan Weierstrassin funktioksi. Jatkuvien, ei missään pisteessä derivoituvien funktioiden löytyminen mahdollisti monen sovelluksen syntymisen kuten Brownin liike, fraktaalit ja kaaosteoria. Toinen tulos on vuodelta 1885. Kyseessä on Weierstrassin approksimaatiolause. Lauseen mukaan jokaista jatkuvaa funktiota reaalilukujen joukossa voidaan approksimoida mielivaltaisen tarkasti sup-normissa polynomeja käyttäen. Tutkielmassa lähdetään liikkeelle määrittelemällä aputuloksia ja käymällä läpi työssä käytettäviä merkintöjä. Työ etenee funktiosarjojen ja potenssisarjojen käsittelyllä. Tällöin esitellään ja todistetaan myös Raaben testi, joka on sarjan suppenemistesti. Sen avulla pystytään tutkimaan suppeneeko potenssisarja suppenemisvälinsä päätepisteissä. Raaben testiä tarvitaan Weiertrassin approksimaatiolauseen todistamisessa. Työssä todistus tehdään kahdella eri tavalla. Ensimmäinen todistus tehdään Lebesguen tavalla ja toinen niin sanotun konvoluutioapproksimaation avulla.