University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Weierstrassin lause ja muita approksimaatiotuloksia

Thumbnail
View/Open
358.2Kb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Kullaa, Hilla
Date
2018
Discipline
Matematiikan opettajankoulutusTeacher education programme in Mathematics
Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

 
Tässä työssä tutustutaan kahteen Weierstrassin tulokseen. Karl Wilhelm Theodor Weierstrass oli saksalainen matemaatikko (1815-1897). Monelle Weierstrassin nimi on tuttu Bolzano-Weierstrassin lauseesta tai Weierstrassin M-testistä. Hän myös muotoili (ε, δ)määritelmän jatkuvuudelle. Tässä tutkielmassa keskitytään kuitenkin kahteen approksimaatioteorian tulokseen. Näiden kahden Weierstrassin tuloksen voidaan ajatella olevan approksimaatioteorian klassisia perustuloksia. Ensimmäinen tulos on vuodelta 1872. Se on Weierstrassin esimerkki jatkuvasta ei missään pisteessä derivoituvasta funktiosta. Käyttämällä funktiosarjoja Weierstrass konstruoi funktion, joka on jatkuva, mutta ei missään pisteessä derivoituva. Tätä kutsutaan Weierstrassin funktioksi. Jatkuvien, ei missään pisteessä derivoituvien funktioiden löytyminen mahdollisti monen sovelluksen syntymisen kuten Brownin liike, fraktaalit ja kaaosteoria. Toinen tulos on vuodelta 1885. Kyseessä on Weierstrassin approksimaatiolause. Lauseen mukaan jokaista jatkuvaa funktiota reaalilukujen joukossa voidaan approksimoida mielivaltaisen tarkasti sup-normissa polynomeja käyttäen. Tutkielmassa lähdetään liikkeelle määrittelemällä aputuloksia ja käymällä läpi työssä käytettäviä merkintöjä. Työ etenee funktiosarjojen ja potenssisarjojen käsittelyllä. Tällöin esitellään ja todistetaan myös Raaben testi, joka on sarjan suppenemistesti. Sen avulla pystytään tutkimaan suppeneeko potenssisarja suppenemisvälinsä päätepisteissä. Raaben testiä tarvitaan Weiertrassin approksimaatiolauseen todistamisessa. Työssä todistus tehdään kahdella eri tavalla. Ensimmäinen todistus tehdään Lebesguen tavalla ja toinen niin sanotun konvoluutioapproksimaation avulla. ...
Keywords
approksimaatiolause ei missään derivoituva funktio Raaben testi Weierstrass matematiikka funktiot
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-201812075022

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [23424]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Tapaustutkimus funktion käsitteen oppimisesta tutkivan matematiikan keinoin 

    Hiltunen, Jenna (2013)
  • Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset 

    Karttunen, Hanna-Kaisa (2014)
    Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. ...
  • Eulerin summia 

    Kaskela, Kai (2014)
    Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella menetelmiä joilla voidaan laskea niin kutsuttuja Eulerin summia. Eulerin summia ovat Riemannin zeeta-funktion arvoja parillisissa ja positiivisissa kokonaislukupisteissä. Vaikka ...
  • Konformisia ja lokaalisti konformisia kuvauksia 

    Jäntti, Pasi (2019)
    Tässä tutkielmassa perehdytään konformikuvauksiin liittyvään teoriaan. Erityisesti tarkastellaan konformikuvauksia eri kompleksitason alueiden välillä. Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan Riemannin kuvauslause, jonka ...
  • Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla 

    Kauppinen, Jussi (2020)
    Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre