Show simple item record

dc.contributor.advisorParkkonen, Jouni
dc.contributor.authorPirnes, Erika
dc.date.accessioned2018-06-15T11:35:57Z
dc.date.available2018-06-15T11:35:57Z
dc.date.issued2018
dc.identifier.urihttps://jyx.jyu.fi/handle/123456789/58598
dc.description.abstractOlkoon R kommutatiivinen rengas. Tämän tutkielman tarkoituksena on etsiä ylä- ja alarajat äärellisviritteisen ideaalin I = (a1, . . . , an) ⊂ R minimaaliselle virittäjämäärälle. Tärkeänä työkaluna toimii moduliteoria; modulit yleistävät sekä ideaalit että vektoriavaruudet. Jos joukko {a1, . . . , an} on vektoriavaruuden V virittäjäjoukko, jossa mikään alkioista ai ei kuulu toisten virittäjien lineaariseen verhoon, on kyseinen joukko lineaarisesti riippumaton virittäjäjoukko eli kanta. Tällöin kaikissa vektoriavaruuden V virittäjäjoukoissa on vähintään n alkiota, ja kaikissa kannoissa niitä on tasan n kappaletta. Tarpeettomien virittäjien poistaminen ei ideaalin ollessa kyseessä kuitenkaan riitä. Vaikka mitään ideaalin virittäjistä ai ei voitaisi poistaa, pienempi virittäjäjoukko saattaa silti olla olemassa. Erityinen kokoelma renkaita, joissa ideaalin minimaalisen virittäjämäärän selvittäminen on verrattain helppoa, on lokaalit renkaat. Hieman yleisemmin: kun R on lokaali rengas, niin äärellisviritteisen R-modulin minimaalinen virittäjämäärä on sama kuin tietyn renkaaseen ja moduliin liittyvän vektoriavaruuden dimensio. Todistus pohjautuu moduliteorian tulokseen, joka tunnetaan nimellä Nakayaman lemma. Lokaalien renkaiden tapauksessa kysymys voidaan siten palauttaa vektoriavaruuden dimension selvittämiseen. Renkaan lokalisaatio syntyy samantapaisella (vaikkakin hieman yleisemmällä) konstruktiolla kuin rationaaliluvut. Sen avulla voidaan löytää alaraja ideaalin minimaaliselle virittäjämäärä alle renkaassa, joka ei ole lokaali. Jokaisella ideaalilla on lokalisaatiossa sitä vastaava ideaali, jota kutsutaan sen laajennukseksi, ja laajennuksen minimaalinen virittäjämäärä on pienempi tai yhtä suuri kuin alkuperäisen ideaalin minimaalinen virittäjämäärä. Alkuideaalin suhteen tehty lokalisaatio on lokaali rengas, joten yllä esitetty tulos antaa halutun alarajan. Jos tämän suuruinen virittäjäjoukko on löydetty, voidaan näin todistaa että se on minimaalinen siinä mielessä, että pienempiä virittäjäjoukkoja ei ole olemassa. Mikäli R on Noetherin rengas, voidaan sen ideaalien minimaaliselle virittäjämäärälle löytää myös yläraja. Tässä tekstissä esitellään Otto Forsterin tulos. Jokaiselle äärellisviritteiselle R-modulille E määritellään luku b(E) siten, että E voidaan virittää joukolla alkioita, joita on b(E) kappaletta. Myös tämä tulos hyödyntää lokalisaatiota, ja sen lisäksi Krullin dimensiokäsitettä ja Zariski-topologiaa. Käsitteiden selventämiseksi käytetyistä esimerkeistä suurin osa käsittelee polynomirenkaita.fi
dc.format.extent64
dc.language.isoen
dc.subject.otherkommutatiivinen rengas
dc.subject.otherideaali
dc.subject.otherlokalisaatio
dc.subject.othervirittäjä
dc.subject.othermoduli
dc.titleThe minimal number of generators for ideals in commutative rings
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:jyu-201806153244
dc.type.ontasotMaster’s thesisen
dc.type.ontasotPro gradu -tutkielmafi
dc.contributor.tiedekuntaMatemaattis-luonnontieteellinen tiedekuntafi
dc.contributor.tiedekuntaFaculty of Sciencesen
dc.contributor.laitosMatematiikan ja tilastotieteen laitosfi
dc.contributor.laitosDepartment of Mathematics and Statisticsen
dc.contributor.yliopistoJyväskylän yliopistofi
dc.contributor.yliopistoUniversity of Jyväskyläen
dc.contributor.oppiaineMatematiikkafi
dc.contributor.oppiaineMathematicsen
dc.rights.copyrightJulkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.fi
dc.rights.copyrightThis publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.en
dc.contributor.oppiainekoodi4041
dc.subject.ysopolynomit
dc.subject.ysoalgebra
dc.subject.ysopolynomials
dc.subject.ysoalgebra


Files in this item

Thumbnail

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record