Eukleideen geometriaa

Abstract

Eukleides Aleksandrialainen oli kreikkalainen matemaatikko, joka loi noin 300 eaa. euklidisen geometrian. Hän julkaisi euklidisen geometrian perustana olevat aksioomat ja perusolettamukset teoksessaan Alkeet. Eukleideen teos on säilynyt koulujen geometrian opetuksen pohjana jopa 1800–luvulle asti. Päälähteenä tutkielmassa on käytetty Eukleideen teoksen Pekka Aschanin suomennosta ja sen nykysuomennosta kommentteineen, jonka on toimittanut Lauri Kahanpää teoksessa Alkeet, Kuusi ensimmäistä kirjaa eli tasogeometria. Tutkielma tarkastelee Eukleideen muodostamaa teoriaa. Tavoitteena on ratkaista neljä vaativaa ympyrän ja kolmion välistä ongelmaa Eukleideen teorian pohjalta. Eukleideen aksioomajärjestelmä perustuu viiteen aksioomaan, joiden perusteella geometria pyritään määrittelemään täydellisesti. Alussa esitellään aksioomajärjestelmän kannalta tärkeät yleiset käsitteet, minkä jälkeen kerrotaan lyhyesti aksioomajärjestelmästä ja sen vaatimuksista sekä esitellään Eukleideen viisi aksioomaa. Tutkielman tärkein teema on tarvittavan euklidisen teorian kokoaminen geometristen ongelmien ratkaisemiseksi. Tutkielman seuraavassa vaiheessa tarkastellaan kolmioiden ja ympyröiden geometrisia ominaisuuksia. Lisäksi esitellään kyseisten ongelmien ratkaisemisen kannalta tarpeellisia käytännön esimerkkejä, jotka perustuvat harppi–viivain konstruktioihin. Teorian pohjalta ratkaistaan näamä neljä ongelmaa: annetun ympyrän sisään on piirrettävä kolmio, annetun ympyrän ympäri on piirrettävä kolmio, annetun kolmion sisään on piirrettävä ympyrä sekä annetun kolmion ympäri on piirrettävä ympyrä. Tarkastelun lopuksi esitellään Eukleideen aksioomajärjestelmää nykyaikaisempi Hilbertin aksioomajärjestelmä euklidiselle geometrialle. David Hilbertin aksioomaj¨arjestelm¨a julkaistiin vuonna 1899 ja se on huomattavasti laajempi ja tarkempi kuin Eukleideen aksioomajärjestelmä. Lopuksi verrataan Eukleideen aksioomajärjestelmää Hilbertin aksioomajärjestelmään ja erityisesti tarkastellaan Eukleideen viidettä aksioomaa. Vertailun tarkoituksena on havainnollistaa Eukleideen teorian mahdollisia ongelmakohtia.