Visuaalinen tangentti lukion pitkässä matematiikassa

Abstract

Opinnäytetyössä selvitellään lukion pitkän matematiikan opiskelijoiden käsityksiä visuaalisesta tangenttisuorasta (lyh. tangentista). Työ sisältää tietokoosteen tutkielman aihepiirin visuaalisesta tangentista. Lukio-opiskelijoiden käsityksiä tangentista esitellään Tallin 1980-luvun tietokoneavusteisesta opetuskokeilusta ja Bizan 2000-luvun tutkimuksesta. Empiirisessä tutkimuksessa tutkittiin lukion pitkän matematiikan oppikirjasarjan visuaalista tangenttia.

Ihmiset ymmärtävät aistein havainnoitavat kohteet pääosin intuition avulla, kun taasen matemaattiset käsitteet voidaan ymmärtää aksioomien, määritelmien ja lauseiden pohjalta. Kuitenkin Bizan laaja tutkimus osoittaa, että lukio-opiskelijoiden käsityksiin tangentista vaikuttavat merkittävästi heidän geometriassa kohtaamansa visuaaliset tangentit. Opiskelijat voivat aluksi ymmärtää visuaalisen tangentin esimerkiksi suorana, joka sivuaa koko käyrää yhdessä pisteessä leikkaamatta käyrää. Opiskelijoiden yksilölliset käsitykset voivat säilyä tai ne voivat kehittyä myöhemmin alkuvaiheen suuntaisina myös paikallista geometrista tai analyyttistä näkökulmaa edellyttävissä uusissa tilanteissa. Näin Bizan mukaan opiskelijoiden geometriassa muotoutuneet ajattelumallit riittävät kuvaamaan heidän käsityksiään tangentista koko lukioajan ja lukion jälkeenkin. Käsitysten tulisi koko tangentin oppimisprosessin ajan konstruoitua todenmukaisina, sillä vahvoiksi kehittyneitä mielensisäisiä ajattelumalleja ei ole enää helppo muokata. Toisaalta tarkoituksenmukaisesti valittujen visuaalisten tangenttien avulla opiskelijoiden käsityksiä voidaan oppimisen alkuvaiheesta alkaen myös korjata ja kehittää. Lisäksi visuaalisuus tukee opiskelijoiden luovaa matemaattista ajattelua sekä mielikuvitusta, joka toimii yhteydessä intuitioon ja luovuuteen.

Laadullisessa tapaustutkimuksessa kuvaillaan yhden lukion pitkän matematiikan oppikirjasarjan visuaalista tangenttia. Kirjasarjan analysoiduissa Geometria- ja Analyyttinen geometria -kirjoissa tarkastellaan visuaalisena ainoastaan ympyrän tangenttia. Kirjoissa ei verbaalisesti nosteta esille kuvioissa havaittavia tangentin yleisiä ominaisuuksia. Tangentin käsite yleistyy merkittävästi vasta Derivaatta -kirjassa, kun derivaattaa havainnollistetaan hahmotellulla tangentilla. Visuaalinen tangentti jää kumminkin hiukan epäselväksi. Pienimuotoisen tutkimuksen pohjalta näyttäisi siltä, että oppikirjan analysoidussa osuudessa voisi hyödyntää enemmän visuaalisen tangentin ja intuition merkityksiä.