Show simple item record

dc.contributor.advisorJuutinen, Petri
dc.contributor.authorPienimäki, Santtu
dc.date.accessioned2017-12-07T17:30:07Z
dc.date.available2017-12-07T17:30:07Z
dc.date.issued2017
dc.identifier.otheroai:jykdok.linneanet.fi:1804989
dc.identifier.urihttps://jyx.jyu.fi/handle/123456789/56170
dc.description.abstractHyperreaaliluvut ovat reaalilukujen joukon laajennus, jossa on olemassa äärettömän pieniä ja suuria lukuja. Hyperreaalilukuja käytetään differentiaali- ja integraalilaskennassa. Metodi on suosittu erityisesti fyysikoiden keskuudessa. Analyysin osa-aluetta, jossa hyödynnetään hyperreaalilukuja, kutsutaan epästandardiksi analyysiksi. Epästandardissa analyysissä käytetään analyysille epästandardeja työkaluja, josta nimi juontuu. Hyperreaalilukujen edut verrattaessa reaalilukuihin tulevat esille epästandardissa analyysissä. Varsinkin fysiikassa hyödynnetään yhtälöiden differentiaalimuotoja ja integroinnissa lähtökohtana pidetään infinitesimaalin valintaa. Tutkielmassa hyperreaaliluvut määritellään lähtien kuudesta aksioomasta. Kaksi ensimmäistä aksioomaa vastaavat reaalilukujen aksioomia. Kolmas aksiooma takaa yhden positiivisen infinitesimaalin olemassaolon. Tämän lisäksi tarvitaan vielä aksiooman standardiosalle ja kaksi aksioomaa funktioille. Jokainen äärellinen hyperreaaliluku on mielivaltaisen lähellä yhtä reaalilukua. Hyperreaaliluvun standardiosa on se reaaliluku, jota lähellä hyperreaaliluku on. Epästandardista analyysista ensimmäisenä määritellään jatkuvuus funktioilla hyperreaalilukujen avulla. Hyperreaalifunktiot ovat funktioita, jotka ovat määrtitelty hyperreaaliluvuilla. Viides aksiooma takaa jokaiselle funktiolle f vastaavan hyperreaalifunktion f*, jota kutsutaan funktion f luonnolliseksi jatkoksi. Raja-arvo määritellään hyperreaaliluvuille standardiosan avulla. Jatkuvuus määritellään rajaarvon avulla, mutta todistuksissa hyödynnetään standardiosaa. Jatkuvuustuloksista Bolzanon lauseen todistus on selkeästi lyhyempi hyperreaalilukuja hyödyntäen. Derivaatta määritellään tutkielmassa standardiosan avulla raja-arvon sijaan. Määritelmän avulla osoitetaan rationaalifunktioiden derivointitulokset. Lauseiden todistuksia verrataan standardin analyysin todistuksiin. Viimeisessä kappaleessa määritellään määrätty integraali hyperreaalilukujen avulla. Määrätyn integraalin ominaisuuksien lisäksi osoitetaan, että määrätty integraali välillä [a,b] funktiosta f on funktion f pinta-ala funktio.fi
dc.format.extent1 verkkoaineisto (55 sivua)
dc.language.isofin
dc.rightsJulkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.fi
dc.rightsThis publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.en
dc.subject.otherhyperreaaliluvut
dc.subject.otherepästandardi analyysi
dc.titleHyperreaaliluvut
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:jyu-201712074539
dc.type.ontasotPro gradufi
dc.type.ontasotMaster's thesisen
dc.contributor.tiedekuntaMatemaattis-luonnontieteellinen tiedekuntafi
dc.contributor.tiedekuntaFaculty of Sciencesen
dc.contributor.laitosMatematiikan ja tilastotieteen laitosfi
dc.contributor.laitosDepartment of Mathematics and Statisticsen
dc.contributor.yliopistoUniversity of Jyväskyläen
dc.contributor.yliopistoJyväskylän yliopistofi
dc.contributor.oppiaineMatematiikkafi
dc.contributor.oppiaineMathematicsen
dc.date.updated2017-12-07T17:30:08Z
dc.rights.accesslevelopenAccessfi
dc.contributor.oppiainekoodi4041
dc.subject.ysoreaaliluvut
dc.subject.ysodifferentiaalilaskenta
dc.subject.ysointegraalilaskenta
dc.subject.ysojatkuvuus
dc.subject.ysoderivaatta


Files in this item

Thumbnail

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record