Fourier'n sarjan suppeneminen

Abstract

Funktion f Fourier'n sarja on ääretön funktiosarja, jossa summataan funktiosta f ja summausindeksistä n riippuvia Fourier'n kertoimia funktiolla e^{inx} kerrottuna. Fourier'n sarjoja käytetään esimerkiksi osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen.

Tässä tutkielmassa käsitellään Fourier'n sarjan suppenemista. Kun Fourier'n sarja keksittiin, pitkään luultiin, että jatkuvan funktion Fourier'n sarja suppenee aina. Tässä työssä osoitetaan, että näin ei ole.

Ensin työssä osoitetaan, että jatkuvan funktion Fourier'n sarja "melkein suppenee," eli on Abel- ja Cesàro-summautuva. Abel-summautuvuudessa sarjan summattavat kerrotaan luvulla r^n, missä luku r on itseisarvoltaan pienempi kuin 1 ja n kertoo monesko summattava on kyseessä, ja tutkitaan suppeneeko näin saatu sarja ääretön sarja, jonka summattavana on r^n a_n. Cesàro-summautuvuudessa puolestaan lasketaan osasummien keskiarvoja, ja tutkitaan suppeneeko osasummien keskiarvojen jono.

Lisäksi todistetaan, että kun funktio on rajoitetusti heilahteleva, niin sen Fourier'n sarja suppenee niissä pisteissä, missä funktio on jatkuva. Tämä tarkoittaa samalla sitä, että kun funktio on paloittain C^1-funktio, Lipschitz-jatkuva tai absoluuttisesti jatkuva, niin funktion Fourier'n sarja suppenee.

Viimeisenä työssä esitellään jatkuva funktio, jonka Fourier'n sarja hajaantuu. Funktion konstruoinnissa käytetään menetelmää, jossa kansanomaisesti sanottuna pienet ongelmat kasaantuvat ja tuottavat massiivisia ongelmia.