Uskottavuusfunktion approksimointi gaussisella variaatiomenetelmällä Poisson-sekamallin ja -latentin muuttujamallin tapauksessa

Abstract

Tilastollisen mallin parametrit estimoidaan usein suurimman uskottavuuden menetelmällä. Havaitulla aineistolla ja voimassa olevan mallin vallitessa suurimman uskottavuuden estimointi valitsee malliparametreille arvot, jotka maksimoivat uskottavuusfunktion. Uskottavuusfunktion ollessa integraali yli latenttien eli havaitsemattomien muuttujien, ei uskottavuusfunktiota voida kuitenkaan kirjoittaa suljetussa muodossa. Tällöin uskottavuusfunktio voidaan approksimoida variaatiomenetelmällä.

Variaatiomenetelmässä uskottavuusfunktiolle lasketaan alaraja, jota maksimoimalla saadaan approksimaatiot malliparametrien suurimman uskottavuuden estimaattoreille. Variaatiomenetelmä tuottaa malliparametrien lisäksi ennusteet ja niiden keskivirheet latenteille muuttujille.

Tutkimuksessa sovelletaan variaatiomenetelmää Poisson-sekamalliin ja -latenttiin muuttujamalliin ordinaatiomenetelmälle. Sekamallilla pyritään selittämään simuloinneissa eri lajien määrää ja aineistoesimerkissä yhden lajin yksilömäärää eri mittauspaikkoilla. Ordinaatiomenetelmässä pyritään havainnollistamaan aineisto kaksiulotteisena kuvana, jossa lajien suhteen samankaltaiset mittauspaikat ovat lähellä toisiaan. Molemmissa tapauksissa implementoidaan menetelmä R-ohjelmistolle. Variaatiomenetelmän soveltuvuutta laskenta-algoritmiksi tutkitaan simulointikokein. Lisäksi sekamalli ja latentti muuttujamalli sovitetaan biologian lukumääräaineistoihin, joista lasketaan estimaatit malliparametreille variaatiomenetelmällä.

Työssä osoitetaan että Poisson-jakauman tapauksessa variaatiomenetelmän mukainen uskottavuusfunktion alaraja voidaan kirjoittaa suljetussa muodossa, jolloin parametrien estimointi on yksinkertaista. Poisson-sekamallin tapauksessa lajien määrän lisääminen antaa tarkemman variaatioapproksimaation. Latentissa muuttujamallissa variaatiomenetelmä antaa hyvillä alkuarvoilla paremman tuloksen kuin perinteisesti käytetty moniulotteiseen skaalaukseen perustuva NMDS-menetelmä. Kuitenkin variaatiomenetelmä näyttäisi latentin muuttujamallin kohdalla reagoivan herkästi huonoihin alkuarvoihin. Kun Poisson-sekamalli sovitetaan lukumääräaineistoon, saadaan selville, että estimaatit ovat samansuuntaiset kuin perinteisesti käytetyllä Laplace-menetelmällä.