Option deltan laskeminen diskreetin Malliavin-laskennan avulla

Abstract

Tässä tutkielmassa esitellään tapa laskea diskreetti approksimaatio option deltalle. Approksimaatio saadaan diskreetin Malliavin-laskennan avulla ja tätä varten määritellään Malliavin-derivaatta sekä Skorohod-integraali sopivaan diskreettiin todennäköisyysavaruuteen. Tavoitteena on laskea eurooppalaisen osto-option ja binäärioption deltat.

Ensimmäisessä luvussa esitellään oleellisimpia määritelmiä, esimerkkejä ja aputuloksia, joita tarvitaan esitiedoiksi myöhempiä lukuja varten. Luvun määritelmiin ja aputuloksiin ei kuitenkaan syvennytä sen enempää. Heti toisen luvun alussa määritellään todennäköisyysavaruus diskreettiä satunnaiskävelyä varten. Satunnaiskävelyä käytetään diskreetissä optionhinnoittelumallissa Brownin liikkeen vastineena, siis mallinnettaessa option kohde-etuuden hintaa. Toisessa luvussa käsitellään myös diskreettiä Malliavin-laskentaa ja määritellään kaksi oleellista käsitettä: Malliavin-derivaatta ja diskreetti Skorohod-integraali. Malliavin-derivaatan määritelmän yhteydessä esitetään tulokset, joiden nojalla diskreetti Malliavin-derivaatta yhdistyy tietyin oletuksin tavalliseen derivaattaan. Vastaava tulos esitetään myös yhdistetyille funktioille. Toisen luvun lopussa määritellään Skorohod-integraali ja todistetaan diskreetin Malliavin-laskennan osittaisintegrointikaava.

Kolmas ja viimeinen luku käsittelee binomipuumallia ja option deltan laskemista diskreetin Malliavin-laskennan avulla. Luku rakentuu siten, että ensin määritellään binomipuumalli, jolla mallinnetaan option kohde-etuuden hintaa. Sen avulla saadaan diskreetit approksimaatiot Black-Scholes -mallin mukaiselle option hinnalle ja option deltalle. Tämän jälkeen option deltalle johdetaan muoto tilanteessa, jossa option tuottofunktio täyttää tietyt oletukset. Erityisesti tuottofunktion tulee olla rajoitettu, jatkuva ja derivoituva. Edeltäviä oletuksia voidaan kuitenkin lieventää. Option tuottofunktiolla voi olla pisteitä, joissa se ei ole derivoituva tai edes jatkuva. Viimeisessä ja tärkeimmässä lauseessa lasketaan delta optiolle, jolla on äärellinen määrä ongelmapisteitä ja jota voidaan approksimoida kaksi kertaa jatkuvasti derivoituvalla funktiolla kaikkien ongelmapisteiden ympäristöissä.