Differentiaalimuodot ja niiden integrointi euklidisten avaruuksien alimonistoilla

Abstract

Differentiaalimuodot ovat oleellinen osa modernin matematiikan koneistoa. Niitä käytetään paitsi geometrian tutkimuksessa, myös teoreettisen fysiikan kentällä muun muassa elektrostatiikassa, mekaniikassa ja termodynamiikassa. Differentiaalimuodot elävät luonnollisesti sileillä monistoilla, jotka puolestaan esiintyvät kaikkialla, missä on tarve puhua siisteistä joukoista koordinaattien avulla.

Tässä tutkielmassa tutustutaan differentiaalimuotojen perusteoriaan alkaen euklidisten avaruuksien alimonistoista. Tämän jälkeen määritellään monistojen tangentti- ja kotangenttiavaruudet, k-muotojen ulkoinen tulo, differentiaalimuotojen ulkoinen derivaatta sekä lopulta differentiaalimuodon integraali yli suunnistetun moniston. Tutkielman tärkeimpänä yksittäisenä tavoitteena on esittää ja todistaa Stokesin ja Cartanin lauseena tunnettu teoreema. Tämä tulos mahdollistaa differentiaali- ja integraalilaskennasta tuttujen Gaussin, Greenin ja Stokesin lauseiden esittämisen yhtenäisellä tavalla, samalla yleistäen niiden sanoman paitsi korkeampiin ulottuvuuksiin, myös euklidisia avaruuksia abstraktimpiin joukkoihin.

Tutkielmassa käsitteitä ja konstruktioita pyritään tarkastelemaan unohtamatta niihin liittyvää geometriaa. Lisäksi työssä tarkastellaan edellä mainittuihin fysiikan aihepiireihin liittyviä esimerkkejä monistojen ja differentiaalimuotojen tarjoamassa kontekstissa. Kokonaisuutena työn on tarkoitus toimia johdatuksena näihin differentiaaligeometriaksi kutsutun matematiikan alan keskeisiin työkaluihin ja antaa välähdys siitä, mitä niillä voi tehdä. Nämä työkalut ovat välttämättömiä jatkettaessa aiheessa eteenpäin, lisättäessä monistoille edelleen rakenteita ja perehdyttäessä niihin syvällisemmin.