Exact solutions of a Dirac equation with a varying CP-violating mass profile and coherent quasiparticle approximation

Abstract

Tässä pro gradu -tutkielmassa tarkastellaan aikariippuvan taustan omaavan Wightmanin funktion faasiavaruuden rakennetta. Aluksi esittelemme koherentin kvasihiukkasapproksimaation (cQPA), joka on epätasapainoilmiöiden tutkimiseen soveltuva lähestymistapa äärellisen lämpötilan kenttäteoriaan. Osoitamme cQPA:n avulla, että jos tarkastelemme systeemiä, joka ei ole translaatioinvariantti, sen faasiavaruudessa on perinteisten massakuoria vastaavien hiukkas- ja antihiukkasratkaisujen lisäksi uudenlaista rakennetta. Tämä hiukkasten välistä epälokaalia kvanttikoherenssia kuvaava rakenne ilmenee nollaliikemääräkuorella k_0 = 0.

Seuraavaksi otamme tarkasteltavaksemme ongelman, jossa koherenssirakenteen tulisi näkyä. Valitsemamme systeemi, Diracin yhtälö kompleksisella aikariippuvalla massalla, ei ole translaatioinvariantti aikariippuvan massan vuoksi, minkä takia faasiavaruuden rakenne voi olla epätriviaali. Motivaationa ongelmalle on sähköheikko baryogeneesi.

Ratkaisemme kyseisen Diracin yhtälön analyyttisesti ilman cQPA-tekniikoita. Tuloksena saatavia eksakteja moodifunktioita käytämme systeemin faasiavaruuden tutkimiseen. Konstruoimme eksakteista ratkaisuista systeemin Wightmanin funktion, ja Wigner-muuntamalla sen pääsemme käsiksi faasiavaruuden rakenteeseen. Rakenne vastaa hyvin cQPA:n ennustuksia, sisältäen kuorirakennetta vastaten hiukkasia, antihiukkasia ja niiden välistä koherenssia. Lisäksi havaitsemme, että heikosti vuorovaikuttavien systeemien tapauksessa faasiavaruudessa voi olla massavallin lähellä koherenssirakenteita vastaten vallin eri puolilta tulevia korrelaatioita. Vuorovaikutukset heikentävät näitä pitkän matkan korrelaatioita voimakkaasti, ja rakennetta ilmeneekin vain massavallin läheisyydessä. Kauempana massamuutoksesta havaitaan vain cQPA-rakennetta.

In this master's thesis the phase space structure of a Wightman function is studied for a temporally varying background. First we introduce coherent quasiparticle approximation (cQPA), an approximation scheme in finite temperature field theory that enables studying non-equilibrium phenomena. Using cQPA we show that in non-translation invariant systems the phase space of the Wightman function has in general structure beyond the traditional mass-shell particle- and antiparticle-solutions. This novel structure, describing nonlocal quantum coherence between particles, is found to be living on a zero-momentum k_0 = 0 -shell.

With the knowledge of these coherence solutions in hand, we take on a problem in which such quantum coherence effects should be prominent. The problem, a Dirac equation with a complex and time-dependent mass profile, is manifestly non-translation invariant due to the temporal variance of the mass, and is in addition motivated by electroweak baryogenesis.

The Dirac equation is solved analytically, with no reference to the cQPA-formalism. The exact mode function solutions of the problem are then used to study the phase space of the system. We use the exact solutions to construct the Wightman function of the system, and Wigner transform it to get a picture of the phase space structure. This structure is found to match well with the one predicted by cQPA, containing particles, antiparticles and coherence. It is also noted that for weakly interacting systems the phase space near the mass wall may contain also coherence structures corresponding to correlations coming from different sides of the wall. These correlations are seen to be largely suppressed by interactions, and their existence is therefore limited to the vicinity of the wall. Further away from the wall only the cQPA-structure exists.