Poisson-prosessit

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua erilaisiin Poisson-prosesseihin, joita käytetään muun muassa vakuutusmatematiikassa, jonotusteoriassa, rahoituksessa sekä kun mallinnetaan aikaa, kunnes jotakin tapahtuu. Tutkielmassa tutustutaan Poisson-prosessien tärkeimpiin jakauman tunnuslukuihin ja ominaisuuksiin todistuksineen sekä esimerkkien muodossa nähdään mitä hyötyä ominaisuuksista käytännössä on.

Ensimmäisenä tutustutaan homogeeniseen ja epähomogeeniseen Poisson-prosessiin sekä niiden ominaisuuksiin. Esimerkeissä lasketaan eri käytännön ongelmia ja lisäksi lasketaan tunnettu odottamiseen liittyvä paradoksi, joka tunnetaan muun muassa nimellä liftarin paradoksi ja josta tässä käytetään nimeä odottajan paradoksi.

Toisena tutustutaan painotettuun Poisson-prosessiin ja sen ominaisuuksiin. Huomataan myös, että sillä on osittain samoja ominaisuuksia kuin epähomogeenisella Poisson-prosessilla, mutta erojakin on. Lisäksi tutustutaan millaisissa tilanteissa kannattaisi käyttää painotettua prosessia tavallisen epähomogeenisen prosessin sijaan.

Viimeisenä tutustutaan yhdistettyyn painotettuun Poisson-prosessiin sekä sen erikoistapaukseen Cramér-Lundbergin malliin ja näiden ominaisuuksiin. Erityisesti Cramér-Lundbergin malli on paljon käytetty riskiteoriassa ja sitä soveltaen lasketaan lopuksi palovakuutusvahinkoesimerkki, jonka aineisto on simuloitu.