Funktionaalisia a posteriori virhearvioita Uzawan tyyppisille menetelmille kokoonpuristumattomien virtausten tapauksessa

Abstract

Stokesin yhtälöllä voidaan kuvata nesteiden ja kaasujen liikettä, jos liike on yksiulotteista tai hidasta. Stokesin yhtälö on yksinkertaistettu ja linearisoitu versio Navier-Stokesin yhtälöistä. Tässä tutkielmassa keskitytään kokoonpuristumattomiin ja viskoottisiin nesteisiin ja kaasuihin. Kokoonpuristumattomuus tarkoittaa sitä, että nesteen tai kaasun tiheys ei muutu ajan suhteen. Viskoottisuus taas tarkoittaa sitä, että nesteillä ja kaasuilla on sisäistä kitkaa, joka muodostuu, kun aineen osaset liikkuvat toistensa suhteen.

Vaikka osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimus on edennyt viime vuosisadalla hyvinkin nopeasti, on analyyttisen ratkaisun löytäminen vaikeaa tai lähes poikkeuksetta mahdotonta. Tapauksissa, joissa analyyttinen ratkaisu löydetään kohtuullisella vaivalla, on yleensä tehty epärealistisen suuria yksinkertaistuksia tai yhtälö on alkujaan keinotekoinen. Jotta epärealistisilta yksinkertaistuksilta voitaisiin välttyä, on osittaisdifferentiaaliyhtälöille kehitetty monia numeerisia ratkaisumenetelmiä, kuten esimerkiksi tässä tutkielmassa hyödynetty elementtimenetelmä. Numeeristen menetelmien käyttö tuottaa osittaisdifferentiaaliyhtälölle likimääräisen ratkaisun, joka hyvin harvoin vastaa tarkkaa ratkaisua. Likimääräiseen ratkaisuun sisältyy siis aina jonkunlainen virhe.

Funktionaalisilla a posteriori virhearvioilla voidaan arvioida luotettavasti sitä virhettä, joka tehdään ratkaistaessa osittaisdifferentiaaliyhtälöitä numeerisesti. Tässä tutkielmassa malliongelmana käytetään yleistettyä Stokesin yhtälöä. Tälle ongelmalle on jo aiemmin johdettu a posteriori virhearviot, tässä tutkielmassa johdetaan vastavat virhearviot ottaen huomioon Uzawa-algoritmin erityispiirteet. Uzawa-algoritmi on suosittu menetelmä likiarvoratkaisujen löytämiseen satulapisteongelmille. Lisäksi tarkastellaan Uzawa-algoritmin konvergenssia malliongelman tapauksessa.

Seuraavaksi tutkimme approksimaatiovirhettä, joka muodostuu, kun ääretönulotteinen ongelma korvataan äärellisulotteisella ongelmalla. Tämän myötä virheen ylärajaan (majorantiin) tulee vapaita parametreja, jotka tulee minimoida mahdollisimman tarkan ylärajan löytämiseksi. Numeerisessa osuudessa ratkaistaan malliongelma elementtimenetelmällä MINI-elementtiä hyödyntäen ja minimoidaan majorantin vapaat parametrit elementtimenetelmällä Raviart-Thomas-elementtejä hyödyntäen. Lopuksi vahvistetaan johdettujen majoranttien toimivuus numeerisilla testeillä. Numeerisia testejä varten on koottu molemmille elementtityypeille osittaisdifferentiaaliyhtälöratkaisijat.