Supersymmetry, supergravity and the AdS/CFT correspondence

Tämä tutkielma on johdatus AdS/CFT-dualiteettiin. Pääasiallinen tavoitteeni on ollut ymmärtää se ajatusten ketju, joka alkaa tavallisesta kvanttikenttäteoriasta ja yleisestä suhteellisuusteoriasta ja päätyy konjektuuriin, jonka mukaan tietyt säieteoriat ovat ekvivalentteja alempiulotteisten mittateorioiden kanssa. Dualiteetin sovellukset mallien rakentamisessa jäävät tässä työssä vähälle huomiolle. Kappale 1 sisältää katsauksen supersymmetriaan. Lyhyen historiallisen johdatuksen jälkeen esittelemme supersymmetriamuunnosten algebran. Tämän algebran esityksiä tutkimme sekä abstraktein menetelmin että tarkastelemalla esimerkkiä supersymmetrisestä kenttäteoriasta. Tämän jälkeen esittelemme superavaruusformalismin, ja näytämme miten supersymmetriamuunnokset tulkitaan superavaruuden koordinaattimuunnoksina, ja että superavaruudessa määriteltyjen funktioiden integroiminen tuottaa supersymmetrisiä teorioita määritteleviä Lagrangen funktioita. Näytämme miten superavaruusformalismia käytetään supersymmetristen mittateorioiden, mm. supersymmetrisoidun QCD:n, rakentamiseen. Lopuksi tarkastelemme lyhyesti supersymmetrian spontaania rikkoutumista ja supersymmetristen kenttäteorioiden kvantisointia. Kappaleessa 2 korotamme globaalit supersymmetriamuunnokset lokaaleiksi, päätyen tätä kautta supergravitaatioteorioihin. Esittelemme aluksi yleisen suhteellisuusteorian monijalkamuotoilun (vielbein formulation), jonka käyttäminen on välttämätöntä spinorien tuomiseksi gravitaatioteoriaan. Sen jälkeen perustelemme esimerkin avulla miksi supersymmetrian korottaminen lokaaliksi tuo automaattisesti gravitaation osaksi teoriaa. Käsittelemme melko perusteellisesti niin sanotun yksinkertaisen neliulotteisen supergravitaation. Tutkimme myös, miten supersymmetria-algebra kuuluu yleistää korkeampiulotteisiin avaruusaikoihin. Kappaleen lopuksi kuvailemme 10- ja 11- ulotteisia supergravitaatioteorioita ja niiden symmetrioita. Kappaleiden 1 ja 2 sisältämien tietojen avulla olemme valmiit esittelemään loput AdS/ CFT-dualiteetin rakenneosat kappaleessa 3. Annamme aluksi lyhyen johdatuksen säieteoriaan ja D-braaneihin. Toteamme, että matalan energian rajalla säieteoriat palautuvat supergravitaatioteorioiksi. Tutkimme niin sanottua suuren N:n rajaa mittateorioissa, ja perustelemme miksi suuren N:n kehitelmän muoto viittaa mittateorioiden ja säieteorioiden välillä olevaan yhteyteen. Tarkastelemme kymmenulotteisen supergravitaation p-braaniratkaisuja ja selitämme, miten ne liittyvät säieteorian Dbraaneihin. Annamme katsauksen konformi-invariantteihin kenttäteorioihin, jonka jälkeen olemme valmiit esittelemään Maldacenan konjektuurin AdS/CFT-dualiteetista. Tarkastelemme avoimien säikeiden ja D-braanien muodostamaa systeemiä kahdella eri tavalla, päätellen tätä kautta että eräs neliulotteinen supersymmetrinen mittateoria on todennäköisesti ekvivalentti tietyn viisiulotteisessa avaruudessa määritellyn säieteorian kanssa. Esittelemme lyhyesti dualiteetin eri puolia, jonka jälkeen lopetamme tutkielman tarkastelemalla lyhyesti, miten dualiteettia voidaan käyttää QCD:ta kuvaavien mallien rakentamiseen.