Differentiaalimuodot ja niiden integrointi euklidisten avaruuksien alimonistoilla
Differentiaalimuodot ovat oleellinen osa modernin matematiikan koneistoa. Niitä käytetään paitsi geometrian tutkimuksessa, myös teoreettisen fysiikan kentällä muun muassa elektrostatiikassa, mekaniikassa ja termodynamiikassa. Differentiaalimuodot elävät luonnollisesti sileillä monistoilla, jotka puolestaan esiintyvät kaikkialla, missä on tarve puhua siisteistä joukoista koordinaattien avulla.
Tässä tutkielmassa tutustutaan differentiaalimuotojen perusteoriaan alkaen euklidisten avaruuksien alimonistoista. Tämän jälkeen määritellään monistojen tangentti- ja kotangenttiavaruudet, k-muotojen ulkoinen tulo, differentiaalimuotojen ulkoinen derivaatta sekä lopulta differentiaalimuodon integraali yli suunnistetun moniston. Tutkielman tärkeimpänä yksittäisenä tavoitteena on esittää ja todistaa Stokesin ja Cartanin lauseena tunnettu teoreema. Tämä tulos mahdollistaa differentiaali- ja integraalilaskennasta tuttujen Gaussin, Greenin ja Stokesin lauseiden esittämisen yhtenäisellä tavalla, samalla yleistäen niiden sanoman paitsi korkeampiin ulottuvuuksiin, myös euklidisia avaruuksia abstraktimpiin joukkoihin.
Tutkielmassa käsitteitä ja konstruktioita pyritään tarkastelemaan unohtamatta niihin liittyvää geometriaa. Lisäksi työssä tarkastellaan edellä mainittuihin fysiikan aihepiireihin liittyviä esimerkkejä monistojen ja differentiaalimuotojen tarjoamassa kontekstissa. Kokonaisuutena työn on tarkoitus toimia johdatuksena näihin differentiaaligeometriaksi kutsutun matematiikan alan keskeisiin työkaluihin ja antaa välähdys siitä, mitä niillä voi tehdä. Nämä työkalut ovat välttämättömiä jatkettaessa aiheessa eteenpäin, lisättäessä monistoille edelleen rakenteita ja perehdyttäessä niihin syvällisemmin.
...
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [28039]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Translating Solitons Over Cartan–Hadamard Manifolds
Casteras, Jean-Baptiste; Heinonen, Esko; Holopainen, Ilkka; De Lira, Jorge H. (Springer Science and Business Media LLC, 2023)We prove existence results for entire graphical translators of the mean curvature flow (the so-called bowl solitons) on Cartan–Hadamard manifolds. We show that the asymptotic behavior of entire solitons depends heavily on ... -
Universal Infinitesimal Hilbertianity of Sub-Riemannian Manifolds
Le Donne, Enrico; Lučić, Danka; Pasqualetto, Enrico (Springer, 2023)We prove that sub-Riemannian manifolds are infinitesimally Hilbertian (i.e., the associated Sobolev space is Hilbert) when equipped with an arbitrary Radon measure. The result follows from an embedding of metric derivations ... -
J2EE Connector Architecture yrityksen sovellusten integroinnissa
Lappi, Markus (2002) -
Pestov identities and X-ray tomography on manifolds of low regularity
Ilmavirta, Joonas; Kykkänen, Antti (American Institute of Mathematical Sciences (AIMS), 2023)We prove that the geodesic X-ray transform is injective on scalar functions and (solenoidally) on one-forms on simple Riemannian manifolds (M, g) with g ∈ C1,1. In addition to a proof, we produce a redefinition of simplicity ... -
Topics in the geometry of non-Riemannian lie groups
Nicolussi Golo, Sebastiano (University of Jyväskylä, 2017)
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.